Método de Newton Raphson o de la Tangente

Sea f(x) una función la cual tiene al menos una raíz, donde f'(x) es continua, si contamos con un valor próximo a alguna raíz podemos seguir acercándonos mediante aproximaciones sacando rectas tangentes a la función y el punto donde la recta cruza el eje de las x será la nueva aproximación.

Supuestos de Aplicación

  • La función f(x) debe de ser continua.
  • f(x) debe ser diferenciable.
  • f'(x) es continua.
  • f»(x) es de signo invariable.

Función recursiva

Algoritmo

  1. Inicio
  2. Considerar f(x), error E, f'(x), x
  3. Leer el valor aproximado a la raíz x y el error de tolerancia.
  4. Evaluar f(x)
  5. Si |f(x)|<E entonces, la raíz es x. Se detiene el método.
  6. Evaluar f'(x)
  7. Si f'(x) = 0, el método se indetermina. Terminar.
  8. xn+1 = xn – (f(xn)/f'(xn))
  9. Regresar a 4.
  10. Fin.

Ejemplo.

Sea la siguiente función con un valor inicial de 4.5 y error de 0.01.

Obtener raíz aproximada.

Hacemos una tabla:

Por lo tanto la raíz es aproximada a 5.

Cuando tenemos una función con varias raíces, dependiendo del valor inicial nos dirigiremos a distintas raíces, la única desventaja que podemos tener es que como la derivada no es de signo invariable el método se podría indeterminar con algunos valores iniciales o también pueden regresarnos a alguno de los puntos anteriores y en este caso el método entraría en un ciclo infinito, por eso es importante que se agregue un número determinado de iteraciones.

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