Método de Bisección

Método de Bisección

Este método nos ayuda a calcular las raíces de las ecuaciones de una sola variable, encontrando los valores para los cuales f(x) = 0 en un intervalo dado. Divide al intervalo en dos subintervalos calculando el punto medio, analiza en donde queda la raíz y elimina el otro subintervalo.

Nota: Estás condiciones son necesarias pero no suficientes.

Modelo

f(x)=0

Supuestos de Aplicación

El intervalo (a,b) debe contener una raíz única, para que esto suceda:

En el intervalo [a,b] debe haber un cambio de signo de f(a) y f(b), esto es, si tiene signos contrarios.

La función debe ser monótona en el intervalo, esto es f'(x) no cambie de signo en el intervalo.

Ecuación Recursiva

El punto medio de un intervalo= Limite Inferior del Intervalo + la mitad del intervalo [a, b ]

El Método de Bisección se detiene cuando al evaluar la función en x el valor absoluto es menor a un error de tolerancia.

|f(x)|< E

Algoritmo:

  1. Inicio.
  2. Considerar intervalo [a,b] y el error de tolerancia(E).
  3. Evaluar f(a) y f(b)
  4. Si f(a) * f(b) > 0 entonces, no hay raíz aislada, dar otro intervalo o terminar el método.
  5. Si |f(a)| < E entonces la raíz es a. Se detiene el método.
  6. Si |f(b)| < E entonces la raíz es b. Se detiene el método.
  7. x = (a + b) / 2
  8. Evaluar f(x)
  9. Si f(a) * f(x) > 0 entonces b = x, f(b) = f(x); Si f(a) * f(x) >=0 entonces a=x, f(a) = f(x)
  10. Volver a paso 5.
  11. Fin

Ejemplo. Encontrar la raíz aislada de la función

En el intervalo [1, 2] con un error de E = 0.01

Evaluamos los valores del intervalo en la función:

f(1) = -1

f(2) = 5

Por lo tanto como hay un cambio de existe al menos una raíz en el intervalo Ahora evaluemos el intervalo en la derivada de la función.

Para poder ver de mejor forma el método realizaremos una tabla con las iteraciones que se realizarán.

Por lo tanto la raíz es aproximada a 1.3259

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