INTERPOLACIÓN POLINOMIAL DE NEWTON   EN DIFERENCIAS DIVIDIDAS

INTERPOLACIÓN POLINOMIAL DE NEWTON EN DIFERENCIAS DIVIDIDAS

Con frecuencia se encontrará con que tiene que estimar valores intermedios entre datos definidos por puntos. El método más común que se usa para este propósito es la interpolación polinomial. Recuerde que la fórmula general para un polinomio de n-ésimo grado es:

Dados n + 1 puntos, hay uno y sólo un polinomio de grado* n que pasa a través de todos los puntos.

El polinomio de interpolación de Newton en diferencias divididas es una de las formas más populares y útiles para encontrar el polinomio que pasa por n puntos. Antes de presentar la ecuación general, estudiaremos las versiones de primero y segundo grados por su sencilla interpretación visual.

Interpolación Lineal

La forma más simple de interpolación consiste en unir dos puntos con una línea recta.

Fórmula de interpolación Lineal:

La notación f1(x) designa que éste es un polinomio de interpolación de primer grado.

Ejemplo 1. Estime el logaritmo natural de 2 mediante interpolación lineal. Primero, realice el cálculo por interpolación entre ln 1 = 0 y ln 6 = 1.791759. Después, repita el procedimiento, pero use un intervalo menor de ln 1 a ln 4 (1.386294). Observe que el valor verdadero de ln 2 es 0.6931472.

Solución. Usamos la ecuación y una interpolación lineal para ln(2) desde x0 = 1 hasta x1 = 6 para obtener:

Interpolación Cuadrática

En el ejemplo anterior el error resulta de nuestra aproximación a una curva mediante una línea recta. En consecuencia, una estrategia para mejorar la estimación consiste en introducir alguna curvatura a la línea que une los puntos. Si se tienen tres puntos como datos, éstos pueden ajustarse en un polinomio de segundo grado (también conocido como polinomio cuadrático o parábola). Una forma particularmente conveniente para ello es:

De donde:

Ejemplo. Ajuste un polinomio de segundo grado a los tres puntos del ejemplo anterior.

Con el polinomio, evalúe ln 2.

Solución. Aplicamos las ecuaciones para obtener los coeficientes del polinomio. Quedando:

Sustituyendo estos valores en la ecuación f2(x) se obtiene la fórmula cuadrática

En esta ecuación, se evalúa x = 2:

Forma general de los polinomios de interpolación de Newton

El análisis anterior puede generalizarse para ajustar un polinomio de n-ésimo grado a n + 1 datos. El polinomio de n-ésimo grado es

Como se hizo antes con las interpolaciones lineales y cuadráticas, los puntos asociados con datos se utilizan para evaluar los coeficientes b0, b1,…, bn. Para un polinomio de n-ésimo grado se requieren n + 1 puntos: [x0, f(x0)], [x1, f(x1)],…, [xn, f(xn)]. Usamos estos datos y las siguientes ecuaciones para evaluar los coeficientes:

donde las evaluaciones de la función colocadas entre paréntesis son diferencias divididas finitas. Por ejemplo, la primera diferencia dividida finita en forma general se representa como

La segunda diferencia dividida finita, que representa la diferencia de las dos primeras diferencias divididas, se expresa en forma general como

En forma similar, la n-ésima diferencia dividida finita es

Estas diferencias sirven para evaluar los coeficientes, los cuales se sustituirán en la ecuación general para obtener el polinomio de interpolación

que se conoce como polinomio de interpolación de Newton en diferencias divididas.

Representación gráfica de la naturaleza recursiva de las diferencias divididas finitas
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